1900 年，德國的偉大數學家希爾伯特 (Hilbert)，淡薄了著名的 23 個數學問題心电图 偷拍，其中的第二個問題如下所示。
證明算術公理系統的無矛盾性 The compatibility of the arithmetical axioms.
在上述問題中，希爾伯特的根由是要如何證明算術公理系統的 Compatibility，Compatibility 這個詞意謂著必須具有「一致性」 (Consistency) 與「完備性」(Completeness)。
為此、許多數學家花費了一輩子的心力，企圖建構出一個「既一致又完備」的邏輯推論系統，像是「羅素與懷德海」就寫了一册「數學旨趣」，但愿為數學建構出止境扎實的「公理系統」。
結果、這樣的企圖心被哥德爾的一個定理給毀了，那個定理就是「哥德爾不完備定理」。
要瞭解「哥德爾不完備定理」之前，最佳先瞭解一下「邏輯悖論」這個主张。
當初、羅素在起劲的建構數學旨趣時，卻發現了數學中存在著邏輯悖論，於是發出感嘆：「當我所建構的科學大廈即將完工之時，卻發現它的地基已經動搖了...」。
羅素的話，其原文是德文，據說翻譯成英文之後意義如下：
Hardly anything more unwelcome can befall a scientific writer than that one of the foundations of his edifice be shaken after the work is finished
結果，在 1950年，羅素穫得諾貝爾文學獎 (天啊！羅素不是數學家嗎！然则看他上头那句話的文筆，我很能體會他得諾貝爾文學獎的原因了 ...)
理髮師悖論理髮師悖論不错描绘如下：
在某一個小寰宇裏，有一個理髮師，他宣稱要為該寰宇中总共不我方理頭髮的东谈主办髮，然则不為任何一個我方理頭髮的东谈主办髮！
請問、他作念获得嗎？
您覺得呢？
這個問題的谜底是，他絕對作念不到，原因出在他我方身上：
如若他「為」我方理頭髮，那麼他就為「一個我方理頭髮的东谈主办髮」，違反了後面的宣言。
如若他「不為」我方理頭髮，那麼他就沒有為「該寰宇中 "总共" 不我方理頭髮的东谈主办髮」，因此違反了前边的宣言。
於是、他理也不是、不睬也不是，這就像中國傳說故事裏「矛與盾」的故事一樣，他的問題堕入兩難，產生「矛盾」了。
是以、該理髮師念念作念的事情是不行能作念获得的！
這樣的悖論，在邏輯與電腦的理論裏有很深遠的影響，哥德爾恰是因為找到了邏輯體系的悖論而發展出「哥德爾不完備定理」，而電腦之父圖靈也事發現了「罢手問題」會酿成悖論而證明了有些事情電腦作念不到 ....
哥德爾不完備定理的描绘當初「哥德爾」淡薄的「不完備定理」，约莫有下列兩種描绘程序，後來簡稱為「哥德爾第一不完備定理」與「哥德爾第二不完備定理」，如下所示。
哥德爾第一不完備定理
定理 G1：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 中存在一種語句 S，然则你無法用 T 證明 S ，卻也無法否證 S。
哥德爾第二不完備定理
老师 足交定理 G2：若公理化邏輯系統 T 是個包含基本算術 (皮諾公設)的一致性系統，那麼 T 無法證明我方的一致性。
然则、對於「程式东谈主」而言，上述描绘齐太邏輯了，讓我們改用「程式东谈主」的角度來看這個問題，淡薄另一種「程式型版块」的說法：
哥德爾不完備定理的程式型：
定理 G3：不存在一個程式，不错正確判斷一個「包含算術的一階邏輯字串」是否為定理。
哥德爾不完備定理的程式型證明接著、就讓我們來「證明」一下上述的程式型「哥德爾不完備定理」吧！
由於牽涉到矛盾，是以我們將採用反證法：
證明：
假如這樣一個程式存在，那麼代表我們不错寫出一個具有下列功能的函數。
function Proveable(str)
if (str is a theorem)
return 1;
else
return 0;
end
這樣的函數本人，並不會酿成甚麼問題，「包含算術的一階邏輯」(簡稱為 AFOL) 夠強，強到不错用邏輯式描绘 Provable(str) 這件事，因此我們不错寫出 Provable(s) 這樣一個邏輯陳述。
更厲害的是，我們也不错將一個字串在 AFOL 裏，是否為定理這件事情，寫成邏輯陳述 (註：邏輯符號 ∃ 代表存在，- 代表 not， & 代表 and， | 代表 or)。
接著、我們就不错問一個奇怪的問題了！那個問題描绘如下。
請問 isTheorem(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是否為真呢？
讓我們先用 T 代表 ∃s -Provable(s) & -Provable(-s) 這個邏輯式的字串，然後分別討論「真假」這兩個情況：
如若 isTheorem(T) 為真，那麼代表存在無法證明的定理，也就是 Provable 函數沒辦法證明总共的定理。
如若 isTheorem(T) 為假，那麼代表 -T 應該為真。這樣的話，請問 Provable(-T) 會傳回甚麼呢？讓我們分析望望：
function Proveable(-T)
if (-T is a theorem) // 2.1 這代表 -(∃s -Provable(s) & -Provable(-s)) 是個定理，也就是 Provable() 不错正確證明总共定理。
return 1; // 但這樣的話，就違反了上述 「2. 如若 isTheorem(T) 為假」的條件了。
else // 2.2 否則代表 -T 不是個定理，也就是存在 (∃) 某些定理 s 是無法證明的。
return 0; // 但這樣的話，又違反上述「2. 如若 isTheorem(T) 為假」的條件了。
end
於是我們斷定：如若 Provable() 對总共輸入齐判斷正確的話，那麼 2 即是不行能的，因為 (2.1， 2.2) 這兩條路齐違反 2 的假設，也就是只须 1 是可能的，是以我們不错斷定 Provable(s) 沒辦法正確證明总共定理。
結語在本文中，我們沒有寫出 Provable(s) 的邏輯陳述，也沒有寫出 isTheorem() 的邏輯陳述，因為這需要對「程式的辅导集」，也就是 CPU 作念一個邏輯描绘，這樣說來故事就太長了！
而這個 CPU，常常後來的「計算理論」書籍裏會用「圖靈機」來描绘，但這並不是哥德爾當初的證明，因為「哥德爾證明不完備定理」的年代，圖靈還沒有淡薄「圖靈機」的主张。
事實上、當初「哥德爾」的證明，根底也沒有「程式與電腦的主张」，是以「哥德爾」花了好多力氣建構了一個「哥德爾化的字串編碼主张」，這種字串編碼是建構在包含「+， *」兩個運算的算術系統上，也就是「皮亞諾公設」所描绘的那種系統。這亦然為何要引進「算術」到一階邏輯中，智商證明「哥德爾不完備定理」的原因了。
1931 年「哥德爾」證明出「不完備定理」之後，後來「圖靈」於 1936 年又淡薄了一個電腦絕對無法齐全作念到的「罢手問題」(Halting Problem)，該問題乃是但愿設計出一個函數 isHalting(code， data) ，不错判斷程式 code 在輸入 data 之後會不會停，也就是 code(data) 會不會停。圖靈行使圖靈機的架構，證明了該問題同樣是不行判定的，也就是沒有任何一個程式不错齐全正確的判定這樣的問題。
「圖靈」的手法，與「哥德爾」止境類似，然则卻又愈加簡單了了。(不過既使如斯，我還是很難径直并吞圖靈的證明，因為本东谈主在碩博士時連續被「圖靈機」苛虐了兩次，再也不但愿跟「圖靈機」有任何拖累了 ....)
然则、我們仍然但愿能夠讓「對程式有興趣」的一又友們，能夠了了的并吞「圖靈」與「哥德爾」在「計算理論」上的树立與貢獻，以免過於景观的念念寫出一個「不错解決总共問題的程式」，我念念只须站在前东谈主的肩膀上，智商看了了「程式」到底是個甚麼東西吧！
(當然、其實念念要「寫出一個不错解決总共問題的程式」长短常好的念念法。雖然「圖靈」與「哥德爾」已經齐告訴過我們這是不行能的，然则身為一個程式东谈主，就應該有挑戰不行能任務的決心，不是嗎？ ........ 雖然、不一定要去作念這種不行能的問題啦 ....)
參考文獻 Wikipedia:Russell's paradox 維基百科:羅素悖論 An Outline of the Proof of Gödel's Incompleteness Theorem， All essential ideas - without the final technical details. Godel's Incompleteness Theorem， By Dale Myers 哥德尔轶事 A Short Guide to Godel's Second Incomplete Theorem (PDF)， Joan Bagaria. Wikipedia:Proof sketch for Gödel's first incompleteness theorem【本文由陳鍾誠取材並修改自 維基百科心电图 偷拍，採用創作共用的 姓名標示、疏导格局共享 授權】